探索与研究：
原题再现：如图，圆柱形木块的高为8，底面半径为2，下底面A点处有一蚂蚁，想吃到上底面相对的B点处的食物，需沿圆柱表面爬行的最短路程是多少？（原题不须解答．以下π均取近似值3）
（1）思考：沿圆柱表面爬行一定是沿侧面爬行吗？若沿A→C→B爬行，则路程是；
（2）继续思考：是否一定是沿侧面爬行的路径最短呢？若圆柱的高为5，底面半径为4，试通过计算比较沿侧面爬行路程，l₁与沿A→C→B爬行路程l₂的长短；
（3）深入思考：若设圆柱的高为h，底面半径为r，试研究r与h的关系对两种路径长短的影响．

如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5，DC=7，AB=13．点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿AD→DC向终点C运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位的速度沿BA向A运动．当点P到达终点，运动即结束．设运动时间为t秒．
（1）梯形ABCD的面积是．
（2）若四边形PQBC恰好是直角梯形，求此时t的值．

如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且AD=BD．
（1）求证：∠ADB=∠BAC；
（2）若△ACD也是等腰三角形，求∠B的度数．

我国古籍《周髀算经》中早有记载“勾三股四弦五”，下面我们来探究两类特殊的勾股数．
（1）通过观察完成下面两个表格中的空格（以下a、b、c为Rt△ABC的三边，且a＜b＜c）：

（2）我们发现，表一中a为大于l的奇数，此时b、c的数量关系是；表二中a为大于4的偶数，此时b、c的数量关系是；
（3）一般地，对于表一，用含a的代数式表示b=；对于表二，用含a的代数式表示b=；
（4）我们还发现，表一中的三边长“3，4，5”与表二中的“6，8，10”成倍数关系，表一中的“5，l2，13”与表二中的“10，24，26”恰好也成倍数关系…．请直接利用这一规律计算：在Rt△ABC中，当a=

3

5

，b=

4

5

时，斜边c的值．

如图，在?ABCD中，E、F是对角线BD上的两个动点，且BE=DF．试猜想并证明AE与CF的关系．

如图，将一条宽DE=4的长方形纸片按任意线段AB折叠，使纸片的一边BE折叠后与另一边AF交于点C．
（1）求证：△ABC为等腰三角形；
（2）试探索：△ABC能否是等腰直角三角形？若能，求出折痕AB的长；若不能，说明理由．

唐代诗人王之涣说“欲穷千里目，更上一层楼”，下面我们利用数学知识计算，到底要登上多少层楼才能“穷千里目”．如图，圆弧代表地球剖面的一部分，圆心为O，AB为直立于地面的某高层建筑，AC为站在楼顶处的视线，与地球半径OB、OC构成了Rt△AOC．设AC=500km（即1000里），取地球半径为6400km，楼AB每层高约3.2m．求楼AB至少要多少层才能“穷千里目”？（参考数据：64.2²≈4121）

我们知道，小学对菱形的认识是：四条边都相等的四边形．到了初中，对菱形的定义是：有一组邻边相等的平行四边形，请你利用初中的定义来说明小学认识的合理性．先补全题目，再完成证明：
如图，在?ABCD中，已知，
求证：．

如图，八年级（上）教材第57页利用构造直角三角形和画弧的方法在数轴上找到了表示

2

的点A．试利用这个方法，在数轴上找出表示-

13

的点B．（保留画图痕迹）

解下列方程
（1）x³-8=0；    
（2）2（x²+1）=10．