Question

（2011•武昌区模拟）△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a，b，c，且a²+c²-a²=bc．
（Ⅰ）求∠A的大小；
（Ⅱ）求y=2cos2B+sin(2B-

π

6

)的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用余弦定理表示出cosA，将已知的等式代入求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；
（Ⅱ）把函数解析式第一项利用二倍角的余弦函数公式化简，第二项利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的定义域与值域，得出正弦函数的最大值，进而确定出y的最大值．

解答：（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵b²+c²-a²=bc，
∴cosA=

b2+c2- a2

2bc

=

1

2

，（4分）
又A为三角形的内角，
∴A=

π

3

；（6分）
（Ⅱ）y=2cos2B+sin(2B-

π

6

)
=（1+cos2B）+sin2Bcos

π

6

-cos2Bsin

π

6

=

3

2

sin2B+

1

2

cos2B+1=sin（2B+

π

6

）+1，（10分）
当2B+

π

6

=

π

2

，即B=

π

6

时，sin（2B+

π

6

）取得最大值1，
此时y取得最大值2．（12分）

点评：此题考查了余弦定理，二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．