Question

已知f(n)＝(2n＋7)·3ⁿ＋9，是否存在自然数m，使得对任意n∈N₊，都能使m整除f(n)，如果存在，求出最大的m值，并证明你的结论；若不存在，说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

证明：(1)当n＝1时，f(1)＝36，能被36整除； 　　(2)假设当n＝k时，f(k)能被36整除，则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝[2(k＋1)＋7]·3k+1＋9 　　＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1)， 　　由归纳假设3[(2k＋7)·3k＋9]能被36整除，而3k－1－1是偶数， 　　所以18(3k－1－1)能被36整除， 　　所以f(k＋1)能被36整除． 　　由(1)(2)，得f(n)能被36整除，由于f(1)＝36，故能整除f(n)的最大整数是36． 　　思路分析：因为f(1)＝36，f(2)＝108＝3×36，f(3)＝360＝10×36，…，所以f(1)，f(2)，f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除．