Question

在△ABC中，已知4cosCsin2

C

2

+cos2C=0
（1）求角C；
（2）若3ab=25-c²，且sinA=(

3

-1)sinB，求边a，b，c．

Answer 1

分析：（1）根据二倍角公式化简题中等式，可得cosC=

1

2

，结合C为三角形的内角可得C=

π

3

；
（2）根据余弦定理c²=a²+b²-2abcosC的式子，与3ab=25-c²联解得到a+b=5．根据sinA=(

3

-1)sinB利用正弦定理得到a=(

3

-1)b，从而解出a=5-

5 3

3

且b=

5 3

3

，再代入前面的等式即可解出c=5

2- 3

．

解答：解：（1）∵4cosCsin2

C

2

+cos2C=0，
∴根据二倍角公式化简，可得2cosC（1-cosC）+2cos²C-1=0，解之得cosC=

1

2

，
由0＜C＜π，可得C=

π

3

；
（2）∵C=

π

3

，∴由余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab，
又∵由已知3ab=25-c²，可得c²=3ab+25，
∴a²+b²-ab=3ab+25，整理得（a+b）²=25，解之得a+b=5．
∵sinA=(

3

-1)sinB
∴根据正弦定理，得a=(

3

-1)b，
∴a+b=

3

b=5，解得b=

5 3

3

，a=5-b=5-

5 3

3

．
代入c²=3ab+25，可得c=

3ab+25

=

3(5- 5 3 3 )• 5 3 3 +25

=5

2- 3

．
综上所述，可得a=5-

5 3

3

，b=

5 3

3

，c=5

2- 3

．

点评：本题给出三角形的角满足的三角函数关系式，求角C的大小并依此求三角形的三条边的长．着重考查了二倍角的三角函数公式、利用正余弦定理解三角形等知识，属于中档题．