Question

已知(x+2)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9，则(a1+3a3+5a5+7a7+9a9)2-（2a₂+4a4+6a6+8a8)2的值为（　　）

A．3⁹

B．3¹⁰

C．3¹¹

D．3¹²

Answer 1

分析：对于二项展开式两边同时取导数，令x=1 可得 a₁+2a₂+3a₃+4a₄+…+9a₉=3¹⁰．令x=-1可得a₁-2a₂+3a₃-4a₄+…+9a₉=9，再由所求的式子等于（a₁-2a₂+3a₃-4a₄+…+9a₉ ）（a₁+2a₂+3a₃+4a₄+…+9a₉），运算求得结果．

解答：解：∵已知(x+2)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9，
两边同时取导数可得9（x+2）⁸=a₁+2a₂•x+3a₃•x²+4a₄•x³+…+9a₉x⁸．
令x=1 可得 a₁+2a₂+3a₃+4a₄+…+9a₉=3¹⁰．
在 9（x+2）⁸=a₁+2a₂•x+3a₃•x²+4a₄•x³+…+9a₉x⁸ 中，令x=-1可得
得 a₁-2a₂+3a₃-4a₄+…+9a₉=9．
故所求的式子等于 （a₁-2a₂+3a₃-4a₄+…+9a₉ ）（a₁+2a₂+3a₃+4a₄+…+9a₉）
=9×3¹⁰=3¹²，
故选D．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，可以简便的求出答案，属于中档题．