Question

若兔子和狐狸的生态模型为（n≥1），对初始群，讨论第n年种群数量α_n及当n越来越大时，种群数量α_n的变化趋势．

Answer 1

【答案】分析：欲讨论第n年种群数量α_n及当n越来越大时，种群数量α_n的变化趋势，根据兔子和狐狸的生态模型可知，只须求出α_n=Mⁿα，关键是求出Mⁿ，故先求出矩阵M的特征向量，再利用特征向量进行计算即可．
解答：解：，，α_n=Mα_n-1=M（Mα_n-2）=M²α_n-2═Mⁿα
M的特征值λ₁=1，对应的特征向量
对应的特征向量
，
=30α₁+10α₂，α_n=Mⁿα=30λ₁ⁿα₁+10λ₂ⁿα₂
=，
当n越来越大时，（0.5）ⁿ趋向于0，
α_n趋向于，即兔子和狐狸的数量趋于稳定在90和30．
点评：本题主要考查了矩阵特征值与特征向量的计算及应用等基础知识，属于基础题．