Question

若兔子和狐狸的生态模型为

Rn=1.1Rn-1-0.3Fn-1 Fn=0.2Rn-1+0.4Fn-1

（n≥1），对初始群α0=

R0 F0

=

100 50

，讨论第n年种群数量α_n及当n越来越大时，种群数量α_n的变化趋势．

Answer 1

分析：欲讨论第n年种群数量α_n及当n越来越大时，种群数量α_n的变化趋势，根据兔子和狐狸的生态模型可知，只须求出α_n=Mⁿα₀，关键是求出Mⁿ，故先求出矩阵M的特征向量，再利用特征向量进行计算即可．

解答：解：αn=

Rn Fn

，M=

1.1 -0.3 0.2 0.4

，α_n=Mα_n-1=M（Mα_n-2）=M²α_n-2═Mⁿα₀
M的特征值λ₁=1，对应的特征向量α1=

3 1

，λ2=0.5
对应的特征向量
α2=

1 2

，α0=

R0 F0

=

100 50

=30

3 1

+10

1 2

=30α₁+10α₂，α_n=Mⁿα₀=30λ₁ⁿα₁+10λ₂ⁿα₂
=30

3 1

+10×(0.5)n

1 2

=

90+10×(0.5)n 30+20×(0.5)n

，
当n越来越大时，（0.5）ⁿ趋向于0，
α_n趋向于

90 30

，即兔子和狐狸的数量趋于稳定在90和30．

点评：本题主要考查了矩阵特征值与特征向量的计算及应用等基础知识，属于基础题．