Question

已知α为钝角，tan(α+

π

4

)=-

1

7

，求：
（1）tanα的值；
（2）cos(2α+

π

4

)的值．

Answer 1

分析：（1）利用两角和的正切公式，解方程求得tanα的值．
（2）由条件并利用同角三角函数的基本关系求出sinα、cosα的值，再利用二倍角公式求出cos2α的值，再利用两角和的余弦公式求出cos(2α+

π

4

)的值．

解答：解：（1）由tan(α+

π

4

)=

tanα+tan π 4

1-tanatan π 4

=

tanα+1

1-tanα

=-

1

7

，…（3分）
解得 tanα=-

4

3

．…（6分）
（2）由tanα=-

4

3

，sin²α+cos²α=1，且α 为钝角，
∴sinα=

4

5

，cosα=-

3

5

．…（8分）
∴cos2α=2cos2α-1=-

7

25

，sin2α=2sinαcosα=-

24

25

，…（10分）
cos(2α+

π

4

)=cos2αcos

π

4

-sin2αsin

π

4

=-

7

25

×

2

2

-(-

24

25

)×

2

2

=

17 2

50

．…（14分）

点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正切公式、两角和的余弦公式、二倍角公式的应用，属于中档题．