Question

20.已知定义在正实数集上的函数f(x)=x²+2ax，g(x)=3a²lnx+b，其中a＞0.设两曲线y=f(x)，y=g(x)有公共点，且在该点处的切线相同.

（Ⅰ）用a表示b，并求b的最大值；

（Ⅱ）求证：f(x) ≥g(x)  (x＞0).

Answer 1

本小题主要考查函数，不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力。

解：（Ⅰ）设y=f(x)与y=g(x)(x＞0)在公共点(x₀,y₀)处的切线相同。

，，由题意f(x₀)=g(x₀),f′(x₀)=g′(x₀).

即由得：x₀=a,或x₀=-3a(舍去)。

即有

令，则.于是

当t(1-3lnt)＞0,即时，h′(t)＞0;

当t(1-3lnt)＜0,即时，h′(t)＜0.

故h(t)在为增函数，在为减函数。

于是h(t)在的最大值为。

（Ⅱ）设F(x)=f(x)-g(x)=x²+2ax-3a²lnx-b(x＞0).

则。

故F(x)在(0,a)为减函数，在为增函数。

于是函数F(x)在上的最小值是F(a)=F(x₀)=f(x₀)-g(x₀)=0.

故当x＞0时，有f(x)-g(x)≥0，即当x＞0时，f(x)≥g(x).