Question

设定义在R上的函数f（x）=5x+sinx，则不等式f （x-1）+f （1-x²）＜0的解集为________．

Answer 1

（-∞，0）∪（1，+∞）
分析：根据函数奇偶性的定义，证出f（x）是定义在R上的奇函数．再由导数恒大于0，得到f（x）是定义在R上的增函数．由此将不等式f （x-1）+f （1-x²）＜0等价转化为x-1＜x²-1，解之即可得到原不等式的解集．
解答：∵函数解析式为f（x）=5x+sinx，
∴f（-x）=-5x+sin（-x）=-（5x+sinx）=-f（x），
因此函数是定义在R上的奇函数
又∵函数f（x）导数f'（x）=5+cosx＞0恒成立
∴函数f（x）是定义在R上的增函数
因此不等式f （x-1）+f （1-x²）＜0，即f （x-1）＜-f （1-x²）=f（x²-1）
可得x-1＜x²-1，解之得x＜0或x＞1
∴原不等式的解集为（-∞，0）∪（1，+∞）
故答案为：（-∞，0）∪（1，+∞）
点评：本题给出函数f（x）=5x+sinx，要求我们利用单调性和奇偶性解关于x的不等式f （x-1）+f （1-x²）＜0，着重考查了函数的基本性质、利用导数研究函数的单调性和一无二次不等式的解法等知识，属于基础题．