Question

已知集合A＝{x|x＝3n＋1，n∈Z}，B＝{x|x＝3n＋2，n∈Z}，C＝{x|x＝6n＋3，n∈Z}．

(1)若c∈C，求证：必存在a∈A，b∈B，使得c＝a＋b；

(2)对于任意的a∈A，b∈B，是否一定有a＋b∈C？试证明你的结论．

Answer 1

答案：
解析：

由题可知集合A是由所有被3除余1的整数组成的，集合B是由所有被3除余2的整数组成的，集合C是由所有被6除余3的整数组成的． 　　(1)证明：若c∈C，不妨设c＝6n＋3，n∈Z， 　　所以c＝6n＋3＝(3n＋1)＋(3n＋2)， 　　取a＝3n＋1，b＝3n＋2， 　　所以，存在a∈A，b∈B，使得c＝a＋b． 　　(2)解：对于任意的a∈A，b∈B，不一定有a＋b∈C． 　　证明：设a＝3m＋1∈A，m∈Z，b＝3k＋2∈B，k∈Z， 　　则a＋b＝3m＋1＋3k＋2＝3(m＋k)＋3， 　　①若m＋k＝2n(n∈Z)，则a＋b＝3(m＋k)＋3＝3·2n＋3∈C； 　　②若m＋k＝2n＋1，n∈Z， 　　则a＋b＝3(m＋k)＋3＝3·(2n＋1)＋3＝6n＋6C， 　　所以综合①②可知：对于任意的a∈A，b∈B，不一定有a＋b∈C．