Question

六个面分别写上1，2，3，4，5，6的正方体叫做骰子．问
（1）共有多少种不同的骰子；
（2）骰子相邻两个面上数字之差的绝对值叫做这两个面之间的变差，变差的总和叫做全变差V．在所有的骰子中，求V的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）先任选一面写上1．那么它对面的面有5种情况．如果是2，那么还剩下一圈四个面，这四个面是等价的．任选一面写上3，那么3的对面的有3种情况．余下的两个面和两个数字有2种情况．最后根据乘法原理得出共有多少种不同的骰子；
（2）设六个面数字为a，b，c，d，e，f．a，b对面，c，d对面，e，f对面．再设U为两个面之差的绝对值，Ua表示a与另五个面之差绝对值的和．从而有a面的变差为Va=Ua-Uab，b面的变差为Vb=Ub-Uab，写出全变差V的表达式，根据Ua+Ub+Uc+Ud+Ue+Uf为一定值，可得这一定值为70，从而求出求V的最大值和最小值．

解答：解：（1）任选一面写上1．那么它对面的面有5种情况．如果是2，那么还剩下一圈四个面，这四个面是等价的．
任选一面写上3，那么3的对面的有3种情况．余下的两个面和两个数字有2种情况．
一共的种数为 5×3×2=30．
故共有30种不同的骰子；
（2）设六个面数字为a，b，c，d，e，f．a，b对面，c，d对面，e，f对面．
设U为两个面之差的绝对值，Ua表示a与另五个面之差绝对值的和．
a面的变差为Va=Ua-Uab
b面的变差为Vb=Ub-Uab
∴V=（Va+Vb+Vc+Vd+Ve+Vf）÷2=（Ua+Ub+Uc+Ud+Ue+Uf-2Uab-2Ucd-2Uef）÷2
其中Ua+Ub+Uc+Ud+Ue+Uf为一定值，可得这一定值为70，
∴Uab+Ucd+Uef最大时，V最小，Uab+Ucd+Uef最小时，V最大．
当Uab=1，Ucd=1，Uef=1时取最小值，此时V最大，V_max=32
Uab+Ucd+Uef最大值为9，当4+5+6-1-2-3这种情况时取得，
∴V的最小值为：V_min=26．

点评：本小题主要考查排列、组合的实际应用、新定义等知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．