Question

如下图,已知ABCD是直角梯形,AD⊥DC,AD=AB,∠C=45°,沿BD将△ABD折到△A′BD的位置,使平面A′BD⊥平面BCD.

(1)求证:BC⊥平面A′BD;

(2)求DC和平面A′BC所成的角;

(3)求二面角A′—DC—B的正切值.

Answer 1

(1)证明:∵AD=AB且∠DAB=90°,

∴∠ADB=45°.

∴∠BDC=∠C=45°,∠DBC=90°.

∵平面A′BD⊥平面BCD,BC⊥BD,

∴BC⊥平面A′BD.

(2)解:∵BC⊥平面A′BD,∴BC⊥A′D.

    又A′D⊥A′B,∴A′D⊥平面A′BC.

∠DCA′即为DC与平面A′BC所成的角,CD=BD=··AD=2AD,

∴∠DCA′=30°.

(3)解:过A′作A′O⊥BD于O.

∵平面A′BD⊥平面BCD,∴A′O⊥平面BCD.

    过O作OE⊥DC于E,连结A′E,则A′E⊥DC,∠A′EO

    即为二面角A′—DC—B的平面角,设A′D=a,则A′O=a.

    又∠BDC=45°，O为BD的中点,∴OE=OD=a.

∴tanA′EO=.