Question

5．已知向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$，1），$\overrightarrow{b}$=（cosα，sinα）（α∈R）
（I）若α=-$\frac{π}{6}$，试用基底$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$表示向量$\overrightarrow{c}$=（2$\sqrt{3}$，0）；
（II）若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，求α值．

Answer 1

分析 （1）采用待定系数法，根据向量相等，建立方程组求解．
（2）根据垂直关系，转化为数量积为0，得三角函数的关系式，求得向量$\overrightarrow{a}$．

解答 （本小题满分12分）
解：（I）当$α=-\frac{π}{6}$时，$\overrightarrow{b}$=$（\frac{\sqrt{3}}{2}，-\frac{1}{2}）$…（1分）
设$\overrightarrow{c}=λ\overrightarrow{a}+μ\overrightarrow{b}$，
则$（2\sqrt{3}，0）$=$λ（\sqrt{3}，1）+μ（\frac{\sqrt{3}}{2}，-\frac{1}{2}）$=$（\sqrt{3}λ+\frac{\sqrt{3}}{2}μ，λ-\frac{1}{2}μ）$…（3分）
∴$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{3}=\sqrt{3}λ+\frac{\sqrt{3}}{2}μ}\\{0=λ-\frac{1}{2}μ}\end{array}\right.$∴$\left\{\begin{array}{l}{λ=1}\\{μ=2}\end{array}\right.$…（5分）
∴$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$…（6分）
（II）由$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$，得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=\sqrt{3}cosα+sinα=0$…（8分）
∴$sinα=-\sqrt{3}cosα$
∴$tanα=-\frac{\sqrt{3}}{3}$…（10分）
∴$α=kπ-\frac{π}{6}$（k∈Z）．…（12分）

点评 考查平面向量的平面向量基本定理，坐标运算，三角函数求值．属于中档题．