Question

已知f(x)=x³+bx²+cx+d在(-¥，0)上是增函数，在[0，2]上是减函数，且方程f(x)=0有三个根，它们分别为a，2，b。

（1）求c的值；

（2）求证f(1)³2；

（3）求|a-b|的取值范围。

 

Answer 1

答案：
解析：

解：（1）f ¢(x)=3x2+2bx+c，∵ f(x)在(-¥，0)上是增函数，在[0，2]上是减函数，∴ 当x=0时，f(x)取到极大值，∴ f ¢(0)=0，∴ c=0。 （2）∵ f(2)=0，∴ d=-4(b+2)。f ¢(x)=3x2+2bx=0的两个根分别为x1=0，，∵ 函数f(x)在[0，2]上是减函数，∴ ，∴ b£-3。 ∴ f (1)=b+d+1=b-4(b+2)+1=-7-3b³2。 （3）∵ a，2，b是方程f(x)=0的三个根，可设f(x)=(x-a)(x-2)(x-b) ∵ f(x)=x3-(2+a+b)x2+(2a+2b+ab)x-2ab， ∴ ∴ ∴ 。 ∵ b£-3，∴|a-b|³3。