Question

已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，焦点在x轴上，两准线间的距离为，并且与直线相交所得线段中点的横坐标为，求这个双曲线方程．

Answer 1

【答案】分析：设求双曲线方程为：（a＞b＞0），直线 y=（x-4）与双曲线相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），将二者联立，结合线段中点的横坐标为，可求得线段中点的纵坐标为-，再利用韦达定理可求得b²，c²与a²之间的关系，再由两准线间的距离为，可求得这个双曲线方程．
解答：解：由题意可设所求双曲线方程为：，
设直线 y=（x-4）与双曲线相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则（1）-（2）得：
即，
又由线段AB中点的横坐标为可得，其纵坐标为，
∴，．
又∵，
∴，
∴，，
又∵双曲线两准线间的距离为，
∴，
∴
∴a=3，a²=9，c²=a²=16．
∴b²=c²-a²=7．
∴所求双曲线方程为：．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，着重考查平方差法与韦达定理的使用，突出考查化归思想与方程思想，培养学生综合分析问题与解决问题的能力，属于难题．