Question

已知抛物线x²=4y的焦点为F,A、B是抛物线上的两动点,且(λ＞0).过A、B两点分别作抛物线的切线,设其交点为M.

(1)证明为定值;

(2)设△ABM的面积为S,写出S=f(λ)的表达式,并求S的最小值.

Answer 1

(1)证明：由已知条件,得F(0,1),λ＞0.

    设A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂).

    由,

    即得(-x₁,1-y₁)=λ(x₂,y₂-1),

    ∴

    将①式两边平方并把y₁=x₁²,y₂=x₂²代入得y₁=λ²y₂,      (3)

    解②、③式得y₁=λ,y₂=,且有x₁x₂=-λx₂²=-4λy₂=-4.

    抛物线方程为y=x².

    求导得y′=x.

    所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是y=x₁(x-x₁)+y₁,y=x₂(x-x₂)+y₂,

即y=x₁x-x₁²,y=x₂x-x₂².

    解出两条切线的交点M的坐标为

   

    所以=()·(x₂-x₁,y₂-y₁)

    =(x₂²-x₁²)-2(x₂²-x₁²)

    =0.

    所以为定值,其值为0.

(2)解：由(1)知在△ABM中,FM⊥AB,

    因而S=|AB||FM|.

     |FM|=

    =

    =

    =

    =.

    因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y=-1的距离,

    所以|AB|=|AF|+|BF|=y₁+y₂+2

    =λ++2=()².

    于是S=|AB||FM|=()³,

    由≥2,知S≥4,

    且当λ=1时,S取得最小值4.