Question

如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2 m的无盖长方体沉淀箱．污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出．设箱体的长度为a m，高度为b m，已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积ab成反比．现有制箱材料60 m²．问当a、b各为多少时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A、B孔的面积忽略不计)．

Answer 1

答案：
解析：

解法1：设y为流出的水中杂质的质量分数， 　　 　　解法2：依题意，即所求的a、b值使ab最大． 　　由题设知4b＋2ab＋2a＝60(a＞0，b＞0)， 　　即a＋2b＋ab＝30(a＞0，b＞0)． 　　∵a＋2b≥2， 　　 　　当且仅当a＝2b时，上式取等号． 　　由a＞0，b＞0，解得0＜ab≤18． 　　即当a＝2b时，ab取得最大值，其最大值为18． 　　∴2b2＝18．解得b＝3，a＝6． 　　故当a为6 m，b为3 m时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．

提示：

本小题主要考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识．