Question

6．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（1＜ω＜3，0≤φ≤π）是R上的偶函数，其图象关于点M（$\frac{2π}{3}$，0）对称，求函数f（x）=sin（ωx+φ）的解析式．

Answer 1

分析 根据诱导公式和奇偶性可知φ=$\frac{π}{2}$，根据对称中心可求出ω，从而得出f（x）的解析式．

解答 解：∵f（x）是偶函数，0≤φ≤π，
∴φ=$\frac{π}{2}$，
∵f（x）的图象关于M（$\frac{2π}{3}$，0）对称，
∴sin（$\frac{2π}{3}ω$+$\frac{π}{2}$）=0，
∴$\frac{2π}{3}ω$+$\frac{π}{2}$=kπ，即ω=$\frac{3k}{2}$-$\frac{3}{4}$，k∈Z．
∵1＜ω＜3，
∴ω=$\frac{9}{4}$．
∴f（x）=sin（$\frac{9}{4}x$+$\frac{π}{2}$）=cos$\frac{9x}{4}$．

点评 本题考查了正弦函数的图象与性质，属于中档题．