Question

设圆（x-2）²+（y-2）²=4的切线l与两坐标轴交于点A（a，0），B（0，b），ab≠0．
（1）证明：（a-4）（b-4）=8；
（2）若a＞4，b＞4，求△AOB的面积的最小值．

Answer 1

分析：（1）设出直线l的截距式方程，整理为一般形式，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线l的距离d，由直线l与圆相切，得到d=r，列出关系式，整理后即可得证；
（2）利用三角形面积公式表示出三角形AOB的面积，将（1）得出关系式变形后代入，利用基本不等式即可求出三角形AOB的最小值，以及此时a与b的值．

解答：（1）证明：直线l的方程为

x

a

+

y

b

=1，即bx+ay-ab=0，
则圆心（2，2）到切线l的距离d=r，即

|2b+2a-ab|

b2+a2

=2，
整理得：ab-4（a+b）+8=0，
则（a-4）（b-4）=8；
（2）解：由（a-4）（b-4）=8，得到ab=4（a+b）-8，
又a＞4，b＞4，
∴S_△AOB=

1

2

ab=2[（a-4）+（b-4）+6]≥2（2

(a-4)(b-4)

+6）=4（3+2

2

），（当且仅当a=b=4+2

2

时取等号），
则△AOB面积的最小值是12+8

2

．

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及三角形的面积公式，涉及的知识有：点到直线的距离公式，基本不等式的运用，以及坐标与图形性质，当直线与圆相切时，圆心到切线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．