Question

设圆（x-2）²+（y-2）²=4的切线l与两坐标轴交于点A（a，0），B（0，b），ab≠0．
（Ⅰ）证明：（a-4）（b-4）为定值；
（II）求线段AB中点M的轨迹方程；
（Ⅲ）若a＞4，b＞4，求△AOB的周长的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设直线l的方程，利用圆心（2，2）到切线l的距离d=r，化简即可证得结论；
（II）求得A、B、M坐标之间的关系，代入（a-4）（b-4）=8，即可求得线段AB中点M的轨迹方程；
（Ⅲ）由ab-4（a+b）+8=0可得ab=4（a+b）-8，利用基本不等式可得ab=4[（a-4）+（b-4）+6]≥8（3+2），从而可求△AOB的周长t=a+b+的最小值．
解答：（Ⅰ）证明：直线l的方程为，即bx+ay-ab=0，则圆心（2，2）到切线l的距离d=r，
即，即ab-4（a+b）+8=0，
∴（a-4）（b-4）=8为定值；
（II）解：设AB的中点为M（x，y），则，
∴a=2x，b=2y，代入（a-4）（b-4）=8，
得线段AB中点M的轨迹方程为（x-2）（y-2）=2（xy≠0）；
（Ⅲ）解：由ab-4（a+b）+8=0可得ab=4（a+b）-8
 又a＞4，b＞4，∴ab=4[（a-4）+（b-4）+6]≥4[2+6]=8（3+2）
所以△AOB的周长t=a+b+≥=（2+）≥4（3+2）（当且仅当a=b=4+2时取等号）
所以△AOB的周长的最小值是12+8．
点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查代入法求轨迹方程，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．