Question

已知。

（1）求函数的最小值；

（2）若存在，使成立，求实数的取值范围；

（3）证明对一切，都有成立。

Answer 1

解：（1）的定义域为，，   ……………1分

令，得，

当时，；当时，，    ……………3分

所以在上单调递减；在上单调递增，

故当时取最小值为。                          ……………5分

（2）存在，使成立，即在能成立，等价于在能成立；

等价于                                  ……………8分

记，

则

当时，；当时，，

所以当时取最小值为4，故。                   ……………11分

（3）记，则

当时，；当时，，

所以当时取最大值为。                          ……………14分

又由（1）知当时取最小值为，

故对一切，都有成立。            ……………16分