Question

设圆C ：（x-1 ）²+y² =1 ，过原点O 作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程．

Answer 1

解：如图所示

设OQ为过点O的-条弦，P(x，y)为其中点，则CP⊥OQ.：
解法一：直接法，因OC中点为，
故|MP|=，得轨迹方程为，
由圆的范围知0<x≤1.
解法二：定义法，∵∠OPC=90°，
∴动点P在以点M为圆心，OC为直径的圆上，
由圆的方程得
解法三：代入法，设Q（x₁，y₁），
则
又∵，
∴（2x-1）²+(2y)²=1（0<x≤1）．
解法四：参数法，设动弦OQ的方程为y=kx，
代入圆的方程得（x-1）²+k²x²=1，即（1+k²）x²-2z=0,
∴，
消去k即可得到（2x-1）²+(2y)²=1(0<x1）．