练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    2011年六月康菲公司由于机器故障，引起严重的石油泄漏，造成了海洋的巨大污染，某沿海渔场也受到污染．为降低污染，渔场迅速切断与海水联系，并决定在渔场中投放一种可与石油发生化学反应的药剂．已知每投放a（1≤a≤4，且a∈R）个单位的药剂，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（天）变化的函数关系式近似于y=af（x），其中f（x）=
    16
    8-x
    -1(0≤x≤4)
    5-
    1
    2
    x(4＜x≤10)
    ，若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．根据实验，当水中药剂的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效治污的作用．称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于6（毫克/升）且不高于18（毫克/升）时称为最佳净化．
    （Ⅰ）若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？
    （Ⅱ）若第一次投放2个单位的药剂，6天后再投放a个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试问a的最小值（精确到0.1，参考数据：
    		2
    取1.4）．
    考点：函数最值的应用
    专题：应用题,函数的性质及应用
    分析：（Ⅰ）由a=4，得y=a•f（x），即y=
    64
    8-x
    -4(0≤x≤4)
    20-2x(4＜x≤10)
    ；令y≥4，解得x的取值范围．
    （Ⅱ）要使接下来的4天中能够持续有效治污，即当6≤x≤10时，y=2×（5-
    1
    2
    x）+a[
    16
    8-(x-6)
    -1]=（14-x）+
    16a
    14-x
    -a-4≥4恒成立，求y的最小值，令其≥4，解出a的最小值．
    解答： 解：（Ⅰ）因为a=4，所以y=
    64
    8-x
    -4(0≤x≤4)
    20-2x(4＜x≤10)
    ；
    则当0≤x≤4时，由
    64
    8-x
    -4≥4    ，解得x≥0，所以此时0≤x≤4，
    当4＜x≤10时，由20-2x≥4，解得x≤8，所以此时4＜x≤8；
    综合，得0≤x≤8，若一次投放4个单位的制剂，则有效治污时间可达8天．
    （Ⅱ）当6≤x≤10时，y=2×（5-
    1
    2
    x）+a[
    16
    8-(x-6)
    -1]=（14-x）+
    16a
    14-x
    -a-4，
    因为，14-x∈[4，8]，而1≤a≤4，
    所以，4
    		a
    ∈[4，8]，由基本不等式得，当且仅当14-x=4
    		a
    时，y有最小值为8
    		a
    -a-4；
    令8
    		a
    -a-4≥4，解得24-16
    		2
    ≤a≤4，所以a的最小值为1.6．
    点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查分段函数的运用，考查基本不等式的运用，确定函数解析式是关键．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如表：
                    性别
    是否需要志愿者    		男女
    需要4030
    不需要160270
    （1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的比例；
    （2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
    （3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中需要志愿者提供帮助的老年人比例？说明理由．
    P（K2≥k）0.0500.0100.001
    3.8416.63510.828
    附：K2=
    n(ad-bc)
    (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=ax3+x2-ax，a∈R，x∈R．
    （1）若函数f（x）在区间（1，2）上不是单调函数，试求a的取值范围；
    （2）直接写出（不需要给出演算步骤）函数g（x）=
    f(x)
    x
    -lnx（x＞
    1
    2
    ）的单调递增区间；
    （3）如果存在a∈（-∞，-1]，使函数h（x）=f（x）+f′（x），x∈[-1，b]，（b＞-1）在x=-1处取得最小值，试求b的最大值．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=sinωx（ω＞0）的图象的一个对称中心为点（
    3π
    4
    ，0），且在区间（0，
    π
    4
    ）上是增函数，则ω的值为
     
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的离心率为
    1
    2
    ，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与C相交于A、B两点．若
    AF
    =2
    FB
    ，则k=（　　）
    A、1
    B、
    		5
    2
    C、
    		3
    D、2

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    计算：lg2×lg
    5
    2
    -lg0.2×lg40=
     
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    在极坐标系中，已知圆C的圆心是C（1，
    π
    4
    ），半径为1，则圆C的极坐标方程为
     
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    有以下四种变换方式：
    ①向左平移
    π
    4
    个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的
    1
    2
    倍（纵坐标不变）；
    ②向左平移
    π
    8
    个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的
    1
    2
    倍（纵坐标不变）；
    ③把各点的横坐标缩短到原来的
    1
    2
    倍（纵坐标不变），再向左平移
    π
    4
    个单位长度；
    ④把各点的横坐标缩短到原来的
    1
    2
    倍（纵坐标不变），再向左平移
    π
    8
    个单位长度；
    其中能将函数y=sinx的图象变为函数y=sin（2x+
    π
    4
    ）的图象的是（　　）
    A、①和④B、①和③
    C、②和④D、②和③

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=x2-2ax+b的一个零点为1，则满足f（a）=0的实数a的值为
     
    ．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案