Question

图形F₁上的任一点与图形F₂上的任一点的距离中的最小值,叫做图形F₁与图形F₂的距离.

(1)求图形y≥2^x与图形y≤cosx的距离;

(2)已知曲线C₁:y=+1与圆C₂:(x-1)²+(y-1)²=r²(r＞0)的距离为,求r的值.

Answer 1

解：(1)点P(0,1)同时落在这两个图形上,

∴这两个图形之间的距离为0.

(2)M(x,y)是曲线C₁上任意一点,

    则y=+1(x≥-).

C₂(1,1)是⊙C₂的圆心,

    记f(x)=|C₂M|²,

    则f(x)=(x-1)²+(y-1)²=x²-2x+1+4(x³+)=4x³+x²-2x+(x≥-).

f′(x)=12x²+2x-2=12(x-)(x+).

    令f′(x)=0,得x=.

    当-≤x＜时,f′(x)＜0,

    当x＞时,f′(x)＞0,

∴f(x)在［-,）上是减函数,在［,+∞）上是增函数.

    从而f(x)_min=f()=,

|C₂M|_min=.

    若r≥,

    由y=+1在［-,+∞)上是增函数可知曲线C₁与圆C₂有公共点,

    则它们的距离为0,这与已知条件矛盾.

    故r＜,

    即曲线C₁在圆C₂外,设N是圆C₂上任一点.

    设线段C₂M与圆C₂交于点Q,

    则|C₂M|≤|MN|+|C²N|,

    即|QM|≤|MN|.

    当N与Q重合时,|MN|=|QM|,

∴|MN|_min=|QM|_min=|C₂M|_min-r=,

r=-=.