Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC=CC₁=2．

(Ⅰ)证明：AB₁⊥BC₁；

(Ⅱ)求二面角C-AC₁-B的大小；

(Ⅲ)求点B到平面AB₁C_l的距离．

Answer 1

解法一：(Ⅰ)在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，所以CC₁⊥AC，

因为BC=CC₁，所以BCC₁B₁为正方形，

又∠ACB=90°，所以AC⊥BC，

所以AC⊥平面BCC₁B₁，

连结B₁C，则B₁C为AB₁在平面BCC₁B₁上的射影，

因为B₁C⊥BC₁，所以AB₁⊥BC₁.

(Ⅱ)连A₁C交AC₁于点H，连BH，因为BC⊥AC,

BC⊥CC₁，BC⊥平面ACC₁A₁，

所以CH为BH在平面ACC₁A₁上的射影，

因为四边形ACC₁A₁为正力形，所以CH⊥AC₁，所以BH⊥AC₁，

所以，∠CHB为二面角C-AC₁-D的平面角．

在直角△BCH中，CH=，BC=2，所以tan∠CHB=，

所以，二面角C-AC₁-B的大小为arctan．

(Ⅲ)因为BC∥B₁C₁，BC面AB₁C₁，所以BC∥面AB₁C₁，所以点B到平面AB₁C₁的距离等于点C到平面AB₁C₁的距离．

因为BC⊥CH，所以B₁C₁⊥CH，

又CH⊥AC₁，所以CH⊥平面AB₁C₁，

所以CH的长度为点置到平面AB₁C₁的距离，

CH=A₁C=．

解法二：(Ⅰ)如图建立直角坐标系，其中C为坐标原点．

依题意A(2,0,0)，B(0,2,0)，B1(0，2，2)，C1(0，0，2)(2分)

因为=(-2，2，2)·(0，-2，2）=0，

所以AB₁⊥BC₁(4分)

(Ⅱ)因为BC⊥AC，BC⊥CC₁，所以为平面ACC₁的法向量，=(0，2，0)，(5分)

设n₁=(x_l，y₁，z₁)是平面ABC₁的法向量，

由n₁·=0，n₁·=0，得

所以

令z₁=1，则n₁=(1，1,1)，

因为cos＜,n₁＞=，

所以，二面角C-AC₁-B的大小为arocos.

(Ⅲ)设n₂=(x₂,y₂,z₂)是平面AB₁C₁的法向量，

由n₂·=0，n₂·=0，得

所以

令z₂=l，则n₂=(1，0，1)，(11分)

因为=(-2，2，0)，所以，B到平面AB₁C₁的距离为d=．