Question

抛物线y²=8x上有一点P(2,4),以点P为一个顶点,作抛物线的内接△PQR,使得△PQR的重心恰好是抛物线的焦点,求QR所在直线的方程.

Answer 1

分析：P点恰好在焦点F(2,0)的正上方,因为F为△PQR的重心,所以QR的中点为M(2,-2),将该问题转化为已知QR的中点求弦所在直线方程的问题.

解:抛物线y²=8x的焦点为F(2,0).

∵F为△PQR的重心,

∴QR的中点为M(2,-2),如图.

设Q(x₁,y₁)、R(x₂,y₂),

则有

①－②,得y₁²-y₂²=8(x₁-x₂).

又y₁+y₂=-4,

∴直线QR的斜率为

∴所求弦QR所在直线的方程为

y+2=-2(x-2),

即2x+y-2=0.

绿色通道：

所谓“设而不求”就是解题时,把题目中某些相关的坐标先设出来,但在解题中并不求它的具体值,只要它作为解题过程中的“桥梁”,使问题快速获解.