Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且Sn=4an+2n+1 ， n∈N*．
（1）求证：{a_n-2}是等比数列；
（2）求数列{na_n}前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）由S_n=4a_n+2n+1，可求得a₁=-1；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1⇒3a_n+2=4a_n-1⇒3（a_n-2）=4（a_n-1-2），从而可证{a_n-2}是等比数列；
（2）由（1）知a_n=2-3×(

4

3

)n-1，令b_n=na_n，T_n=b₁+b₂+…+b_n=2（1+2+3+…+n）-3[1×(

4

3

)0+2×(

4

3

)1+3×(

4

3

)2+…+n×(

4

3

)n-1]，前者利用等差数列求和，后者利用错位相减法求和，再分别相加即可．

解答：解：（1）∵S_n=4a_n+2n+1，
∴S₁=4a₁+3，而S₁=a₁，
∴a₁=-1；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1
=（4a_n+2n+1）-[4a_n-1+2（n-1）+1]
=4a_n-4a_n-1+2，
∴3a_n+2=4a_n-1，
∴3a_n-6=4a_n-1-8，即3（a_n-2）=4（a_n-1-2），又a₁-2=-3，
∴{a_n-2}是以-3为首项，公比为

4

3

等比数列．
∴a_n-2=-3×(

4

3

)n-1，
∴a_n=2-3×(

4

3

)n-1．
（2）∵a_n=2-3×(

4

3

)n-1，令b_n=na_n，
则b_n=na_n=2n-3n×(

4

3

)n-1，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n
=2（1+2+3+…+n）-3[1×(

4

3

)0+2×(

4

3

)1+3×(

4

3

)2+…+n×(

4

3

)n-1]．
令C_n=1×(

4

3

)0+2×(

4

3

)1+3×(

4

3

)2+…+n×(

4

3

)n-1①，

4

3

C_n=1×(

4

3

)1+2×(

4

3

)2+…+（n-1）×(

4

3

)n-1+n×(

4

3

)n②，
①-②得：-

1

3

C_n=(

4

3

)0+(

4

3

)1+(

4

3

)2+…+(

4

3

)n-1-n×(

4

3

)n
=

1-( 4 3 )n

1- 4 3

-n×(

4

3

)n
=-3（1-(

4

3

)n）-n×(

4

3

)n
=（3-n）×(

4

3

)n-3，
∴C_n=（3n-9）×(

4

3

)n+9．
∴T_n=2×

n(1+n)

2

-3[（3n-9）×(

4

3

)n+9]
=-（9n-27）×(

4

3

)n+n²+n-27．

点评：本题考查数列的求和，着重考查等比关系的确定与其通项公式的应用，突出考查分组求和与错位相减法求和的综合应用，考查构造函数思想、转化思想与综合运算能力，属于难题．