Question

已知双曲线的中心在原点，焦点F₁、F₂在坐标轴上，离心率为2，且过点（4，-），

（1）求此双曲线方程；

（2）若直线方程kx-y-3k+m=0（其中k为参数）所过定点M恰在双曲线上，求证：F₁M⊥F₂M.

Answer 1

解：（1）e²===1+=2,

∴=1.

可设双曲线方程为x²-y²=λ（λ≠0）.?

∵点（4,-）在双曲线上，代入解得λ=6，?

∴所求双曲线方程为x²-y²=6.?

（2）直线k（x-3）+（m-y）=0过定点M（3,m）在双曲线上，?

∴3²-m²=6，∴m=±,

∴M（3,±）.

又∵双曲线的焦点F₁（-2，0），F₂（2，0），

∴k·k=-1

∴F₁M⊥F₂M.