Question

已知函数f(x)是R上的增函数，设F(x)＝f(x)－f(a－x)．

(1)用函数单调性定义证明F(x)是R上的增函数；

(2)求证：函数y＝F(x)的图像关于点(，0)成中心对称图形．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)设x1、x2∈R，且x1＜x2，则 　　F(x1)－F(x2)＝[f(x1)－f(a－x1)]－[f(x2)－f(a－x2)] 　　＝[f(x1)－f(x2)]＋[f(a－x2)－(a－x1)]． 　　又∵函数f(x)是R上的增函数，x1＜x2， 　　∴a－x2＜a－x1． 　　∴f(x1)＜f(x2)．∴f(a－x2)＜f(a－x1)． 　　∴[f(x1)－f(x2)]＋[f(a－x2)－f(a－x1)]＜0． 　　∴F(x1)＜F(x2)． 　　∴F(x)是R上的增函数． 　　(2)设点M(x0，F(x0))是函数F(x)图像上任意一点，则点M(x0，F(x0))关于点(，0)的对称点M′(a－x0，－F(x0))． 　　又∵F(a－x0)＝f(a－x0)－f[a－(a－x0)] 　　＝f(a－x0)－f(x0) 　　＝－[f(x0)－f(a－x0)] 　　＝－F(x0)， 　　∴点M′(a－x0，－F(x0))也在函数F(x)图像上． 　　又∵点M(x0，F(x0))是函数F(x)图像上任意一点， 　　∴函数y＝F(x)的图像关于点(，0)成中心对称图形．

提示：

(1)证明函数F(x)的单调性要用到函数f(x)的单调性；(2)证明函数y＝F(x)的图像上任一点关于点(，0)的对称点也在函数y＝F(x)图像上即可．