Question

在如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且

BC=BD=，AM=2MB.

   （I）求证：CM⊥EM；

   （II）求直线EM与直线CD所成角的大小.

Answer 1

解法一：

解：（I）方法一：

∵在△ABC中，AC⊥BC，且BC=a，

AC=                                                         

又∵AM=2MB

∴AM=

∴AC²=AM?AB，即CM⊥AB.                                                            

又∵EA⊥平面ABC，CM平面ABC，∴EA⊥CM，由上得CM⊥AB，

EA⊥CM，又EA∩AB=A.

∴CM⊥平面ABDE，EM平面ABDE.

∴CM⊥EM.                                                                                      

方法二：

∵在△ABC中，AC⊥BC，且BC=a，

AC=

又∵AM=2MB

∴AM=

∴AC²=AM?AB，即CM⊥AB.                                                            

又∵EA⊥平面ABC，平面ABDE

∴平面ABDE⊥平面ABC.

∵平面ABDE∩平面ABC=AB，CM平面ABC，CM⊥AB

∴CM⊥平面ABDE，EM平面ABDE.

∴CM⊥EM.                                                                                      

   （II）在

∴在△EMD中DE²=EM²+DM²，即DM⊥EM.                                    

又∵CM⊥平面ABDE，DM平面ABDE.

∴CM⊥DM.

由上得CM⊥DM，DM⊥EM，CM∩EM=E

∴DM⊥平面EMC，即CM为CD在平面EMC上的射影，

由三垂线定理知CD⊥EM，

∴EM与直线CD所成角为                                                          

解法二：

解：（I）以A为坐标原点，轴正方向，轴正方向建立空间直角坐标系，

如图所示，则

                                                         

则，

                                 

   （II）由（I）可得