Question

10．已知xy＞0，则$\frac{y}{x+y}+\frac{2x}{2x+y}$的最小值为（　　）

• A． $4+2\sqrt{2}$
• B． $4-2\sqrt{2}$
• C． $2+\sqrt{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 xy＞0，则$\frac{y}{x+y}+\frac{2x}{2x+y}$=$\frac{1}{\frac{x}{y}+1}$+$\frac{2×\frac{x}{y}}{2×\frac{x}{y}+1}$，令$\frac{x}{y}$=t＞0，则$\frac{1}{t+1}$+$\frac{2t}{2t+1}$=f（t），利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．

解答 解：∵xy＞0，则$\frac{y}{x+y}+\frac{2x}{2x+y}$=$\frac{1}{\frac{x}{y}+1}$+$\frac{2×\frac{x}{y}}{2×\frac{x}{y}+1}$，
令$\frac{x}{y}$=t＞0，则$\frac{1}{t+1}$+$\frac{2t}{2t+1}$=f（t），
f′（t）=$\frac{-1}{（t+1）^{2}}$+$\frac{2}{（2t+1）^{2}}$=$\frac{2（t+\frac{\sqrt{2}}{2}）（t-\frac{\sqrt{2}}{2}）}{（t+1）^{2}（2t+1）^{2}}$，
可知：当t=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，函数f（t）取得极小值即最小值，$f（\frac{\sqrt{2}}{2}）$=4-2$\sqrt{2}$，
故选：B．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．