Question

已知△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的直角三角形，且AD=BD=CD，∠BAC=60°.

(1)求证：BD⊥平面ADC；

(2)若H是△ABC的垂心，求证：H是D在平面ABC内的射影.

Answer 1

证明：(1)不妨设AD=BD=CD=1，则AB=AC=,

·=(-)·=·-·.?

由于·=·(+)=·=1,

及·=||||cos60°=··=1,

∴·=0,即BD⊥AC，而已知BD⊥AD.

∴BD⊥平面ADC.

(2)·=( +)·=·=·=·(-)= ·-·=1··cos45°-1··cos45°=0.∴DH⊥BC.

又·=(-)·=BH·-·=0,∴DH⊥AC,从而DH⊥平面ABC,即H是D在平面ABC上的射影.