Question

已知函数f（x）=x³-3ax+2（其中a为常数）有极大值18．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若曲线y=f（x）过原点的切线与函数g（x）=b-lnx的图象有两个交点，试求b的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）用导数求出函数的极大值点，根据极大值为18列出方程即可解得．
（Ⅱ）求出切线方程，利用数形结合思想把图象的交点个数转化为函数最值问题解决．
解答：解：（Ⅰ）f′（x）=3x²-3a，又函数f（x）有极大值，
∴令f′（x）＞0，得x＜-或x，
∴f（x）在（-∞，-），（，+∞）上递增，在（-，）上递减，
∴f（x）_极大值=f（-）=18，解得a=4．
（Ⅱ）设切点（x，），则切线斜率k=f′（x）=，
所以切线方程为y--2=（）（x-x），
将原点坐标代入得x=1，所以k=-9．
切线方程为y=-9x．
由得lnx-9x-b=0．
设h（x）=lnx-9x-b，
则令h′（x）=-9=＞0，得0＜x＜，
所以h（x）在（0，）上递增，在（，+∞）上递减，
所以h（x）_最大值=h（）=-ln9-1-b．
若lnx-9x-b=0有两个解，则h（x）_最大值＞0，
得b＜-ln9-1．
点评：本题考查了利用导数研究函数的极值、最值问题，考查了用所学知识解决问题的能力，注意数形结合思想在本题中的运用．