Question

设数列的首项R），且n=1,2,3,….

   （I）若

   （II）若，证明：；

   （III）若，求所有的正整数k，使得对于任意N^*，均有成立.

Answer 1

（Ⅰ）解；因为

所以a₂=－a₁+4=－a+4，且a₂∈（3，4）

所以a₃=a₂－3=－a+1，且a₃∈（0，1）

所以a₄=－a₃+4=a+3，且a₄∈（3，4）

所以a₅=a₄－3=a

（Ⅱ）证明：当

所以，

②当

所以，

综上，   

（Ⅲ）解：①若

因此，当k=4m（m∈N*）时，对所有的n∈N*，成立

②若

因此，当k=2m（m∈N*）时，对所有的n∈N*，成立

③若，

因此k=m（m∈N*）时，对所有的n∈N*，成立

综上，若0<a<1，则k=4m；，则k=2m；若a=2，则k=m. m∈N*