Question

用数学归纳法证明(3n+1)·7ⁿ-1能被9整除(n∈N*).

Answer 1

分析：本题考查数学归纳法在证明整除性问题中的应用.

要证明一个与正整数n有关的式子能被一个数(或式)a整除,关键是找到f(k+1)与f(k)的关系,设法把f(k+1)分解转化成f(k+1)=f₁(k)·f(k)+f₂(k)(其中f₂(k)能被a整除)的形式.

证明 （1）当n=1时，原式=(3×1+1)·7-1=27，能被9整除，命题成立.

(2)假设当n=k时，(3k+1)·7k-1能被9整除，

当n=k+1时，

［3(k+1)+1］·7^k+1-1=［21(k+1)+7］·7^k-1

=［(3k+1)+(18k+27)］·7^k-1

=［(3k+1)·7^k-1］+9(2k+3)·7^k.

∵［(3k+1)·7^k-1］和9(2k+3)·7^k都能被9整除,

∴［(3k+1)·7^k-1］+9(2k+3)·7^k能被9整除,

即［3(k+1)+1］·7^k+1-1能被9整除,

即当n=k+1时，命题成立.

由（1）、（2）可知，对任何n∈N*，命题都成立.

点评：(1)对于多项式A、B,如果A=B·C,C也是多项式,那么A能被B整除;如果多项式A、B都能被C整除,那么多项式pA+qB也能被C整除.用数学归纳法证明整除性问题时,可通过拆项拼凑出归纳假设的形式,也可通过加项、减项拼凑出归纳假设的形式.

(2)若本题没有要求用数学归纳法证明,也可采用二项式定理把7n写成(6+1)ⁿ展开后去证明,你不妨试一试.