Question

用数学归纳法证明：

tan α·tan 2α＋tan 2α·tan 3α＋…＋tan(n－1)α·tan nα＝－n(n∈N^*，n≥2)．

Answer 1

证明　(1)当n＝2时，右边＝－2＝－2＝＝tan α·tan 2α＝左边，等式成立．

(2)假设当n＝k(k∈N^*且k≥2)时，等式成立，即

tan α·tan 2α＋tan 2α·tan 3α＋…＋tan(k－1)α·tan kα＝－k，

那么当n＝k＋1时，

tan α·tan 2α＋tan 2α·tan 3α＋…＋tan(k－1)α·tan kα＋tan kα·tan(k＋1)α

＝－k＋tan kα·tan(k＋1)α

＝＋1＋tan kα·tan(k＋1)α－(k＋1)

＝＋－(k＋1)

＝－(k＋1)．

这就是说，当n＝k＋1时等式也成立．

由(1)(2)知，对任何n∈N^*且n≥2，原等式成立．