Question

各项均不为零的数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n+3S_nS_n-1=0（n≥2），a₁=

1

3

．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）若b_n=

1 ，(n=1) 1 3(1-n)an ，(n≥2)

，设T_n=

1

b1+n

+

1

b2+n

+…+

1

bn+n

，若T_n＞m对n≥2恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件推导出{

1

Sn

}是以3为首项，以3为公差的等差数列，从而得到

1

Sn

=3n，进而得到Sn=

1

3n

．由此能求出数列{a_n}的通项公式a_n．
（2）由b₁=1，bn=

1

3(1-n)an

=n，n≥2，得T_n=

1

1+n

+

1

2+n

+…+

1

n+n

，由此推导出{T_n}是单调递增函数，从而求出(Tn)min=T2=

1

1+2

+

1

2+2

=

7

12

，由此能求出结果．

解答： 解：（1）当n≥2时，由a_n+3S_nS_n-1=0，
得S_n-S_n-1+3S_nS_n-1=0，即

1

Sn

-

1

Sn-1

=3(n≥2)…（2分）
又a₁=

1

3

，∴

1

S1

=3，
∴{

1

Sn

}是以3为首项，以3为公差的等差数列，
∴

1

Sn

=3+3（n-1）=3n，∴Sn=

1

3n

．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

1

3n

-

1

3n-3

=

1

3n(1-n)

，
∴an=

1 3 ，n=1 1 3n(1-n) ，n≥2

．
（2）∵b_n=

1 ，(n=1) 1 3(1-n)an ，(n≥2)

，
∴b₁=1，bn=

1

3(1-n)an

=n，n≥2，
∴T_n=

1

b1+n

+

1

b2+n

+…+

1

bn+n

=

1

1+n

+

1

2+n

+…+

1

n+n

，
Tn+1=

1

1+n+1

+

1

2+n+1

+…+

1

n-1+n+1

+

1

n+n+1

+

1

n+1+n+1

，
∴Tn+1-Tn=

1

2n+1

-

1

2n+2

＞0，
∴{T_n}是单调递增函数，
∴(Tn)min=T2=

1

1+2

+

1

2+2

=

7

12

，
∵T_n＞m对n≥2恒成立，∴m＜

7

12

．…（12分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意数列的单调性的合理运用．