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    已知正三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝2AC＝4，延长CB至D，使CB＝BD．

    (Ⅰ)求证：直线C1B∥平面AB1D；

    (Ⅱ)求平面AB1D平面ACB所成角的正弦值．

    答案：
    解析：

    　　解：(Ⅰ)连结C1B则C1B1＝CB＝DB，又C1B1∥BD，

    　　所以，四边形C1BDB1是平行四边形，　　　　　　(4分)

    　　所以，C1B∥B1D，又B1D平面AB1D，

    　　所以，直线C1B∥平面AB1D．　　　　　　　　　　　(7分);

    　　(Ⅱ)在△ACD中，由于CB＝BD＝BA，

    　　所以，∠DAC＝90°，

    　　以A为原点，建立如图空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B1(，1，4)，D(2，0，0)，　　　　　　　　　　(10分)

    　　设平面AB1D的法向量n＝(x，y，z)，则

    　　所以取z＝1，则n＝(0，－4，1)　　　　　　　(12分)

    　　取平面ACB的法向量为m＝(0，0，1)

    　　则

    　　所以，平面AB1D与平面ACB所成角的正弦值为　　(14分)


    提示：

    本题主要考查空间线面、面面的位置关系等基本知识，同时考查空间想象能力．


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    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为1，高为h（h＞2），动点M在侧棱BB1上移动．设AM与侧面BB1C1C所成的角为θ．
    （1）当θ∈[
    π
    6
    ，
    π
    4
    ]    时，求点M到平面ABC的距离的取值范围；
    （2）当θ=
    π
    6
    时，求向量
    AM
    与
    BC
    夹角的大小．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知正三棱柱ABC-A1B1C1的每条棱长均为a，M为棱A1C1上的动点．
    （1）当M在何处时，BC1∥平面MB1A，并证明之；
    （2）在（1）下，求平面MB1A与平面ABC所成的二面角的大小；
    （3）求B-AB1M体积的最大值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知正三棱柱ABC-A1B1C1，底面边长为8，对角线B1C=10，
    （1）若D为AC的中点，求证：AB1∥平面C1BD；
    （2）若CD=2AD，BP=λPB1，当λ为何值时，AP∥平面C1BD；
    （3）在（1）的条件下，求直线AB1到平面C1BD的距离．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC的中点，AA1=AB=1．
    （1）求证：平面AB1D⊥平面B1BCC1；
    （2）求证：A1C∥平面AB1D；
    （3）求二面角B-AB1-D的正切值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2009•湖北模拟）如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1各棱长都为a，P为棱A1B上的动点．
    （Ⅰ）试确定A1P：PB的值，使得PC⊥AB；
    （Ⅱ）若A1P：PB=2：3，求二面角P-AC-B的大小；
    （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求点C1到面PAC的距离．

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