Question

设函数是实数集R上的奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）判断f（x）在R上的单调性并加以证明；
（3）求函数f（x）的值域．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接根据f（-x）=-f（x），整理即可得到结论．
（2）直接根据单调性的证明过程证明即可．
（3）先对原函数分离常数，再借助于指数函数的最值即可得到结论．（也可以采用反函数的思想）．
解答：解：（1）∵f（x）是R上的奇函数
∴f（-x）=-f（x），
即，即
即（a-1）（2^x+1）=0
∴a=1
（或者∵f（x）是R上的奇函数∴f（-0）=-f（0），∴f（0）=0．∴．，解得a=1，然后经检验满足要求．）
（2）由（1）得
设x₁＜x₂∈R，则f（x₁）-f（x₂）=（1-）-（1-）
=，
∵x₁＜x₂
∴
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
所以f（x）在R上是增函数
（3），
∵2^x+1＞1，∴，
∴，
∴
所以的值域为（-1，1）
或者可以设，从中解出2^x=，所以，所以值域为（-1，1）
点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、指数函数的性质等基础知识，考查运算求解能力与化归与转化思想．属于中档题．