Question

双曲线的方程是-y²=1.

（1）直线l的倾斜角为,被双曲线截得的弦长为，求直线l的方程;

（2）过点P（3，1）作直线l′，使其截得的弦恰被P点平分，求直线l′的方程.

Answer 1

解：（1）设直线l的方程为y=x+m，代入双曲线方程,得

3x²+8mx+4(m²+1)=0,Δ=(8m)²-4×3×4(m²+1)=16(m²-3)＞0,

∵m²＞3.

设直线l与双曲线交于A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)两点，

则x₁+x₂=-m,x₁x₂=，由弦长公式|AB|=|x₁-x₂|得

·=,∴=，即m=±5，∴直线l的方程为y=x±5.

（2）设与双曲线交于A′(x₁,y₁)、B′(x₂,y₂)两点.点P（3,1）为A′、B′的中点，则x₁+x₂=6,y₁+y₂=2.由x₁²-4y₁²=4,x₂²-4y₂²=4,两式相减得(x₁+x₂)(x₁-x₂)-4(y₁+y₂)(y₁-y₂)=0，∴=，∴l′的方程为y-1=(x-3)，即3x-4y-5=0.把此方程代入双曲线方程，整理得5y²+10y+=0，∵Δ＞0,∴所求直线与双曲线有两个交点，即所求直线l′的方程为3x-4y-5=0.