Question

如下图，AB是半圆直径，C为中点，CD⊥AB于D交AE于F，求证：AF=CF．

Answer 1

答案：略
解析：

证法1：如下图，延长CD交圆O于H，连结AC． ∵CD⊥AB，AB是直径，∴． ∵C为的中点，∴．∴．∴∠CAE=∠ACH．∴AF=CF． 证法2：连结OC、AC，由于C为中点，O为圆心，则OC⊥AE． 　 　 ∵CD⊥AB，∴∠OCD=∠OAE． ∵OC=OA，∴∠OCA=∠OAC．∴∠DCA=∠CAE． ∴AF=CF． 证法3：连结AC、BC． ∵AB是直径，∴AC⊥BC． ∵CD⊥AB，∴∠B=∠ACD． ∵，∴∠B=∠CAE．∴∠CAE=∠ACD，∴AF=CF．

提示：

分析1：欲证AF=CF，只需证∠ACD=∠CAE，由于∠CAE对，只需证∠ACO所对的弧与相等，即与相等，画出等半圆找到∠C对的弧即可． 分析2：如下图，欲证∠CAE=∠ACD，连OC后，得到∠CAO=∠ACO，故只需证∠EAO=∠OCD，因CD⊥AB，只需证OC⊥AE，由C为中点，便有OC⊥AE． 分析3：如下图，欲证∠CAE=∠ACD，因，可得∠CAE=∠ABC，故只需证∠ACD=∠B，这由∠ACB=90°，CD⊥AB可得．