Question

如图1，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB＝BC＝0.5AP＝2，D是AP的中点，E，F，G分别为PC、PD、CB的中点，将△PCD沿CD折起，使得PD⊥平面ABCD，如图2．

(Ⅰ)求证：AP∥平面EFG；

(Ⅱ)求二面角G－EF－D的大小；

(Ⅲ)求三棱椎D－PAB的体积．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)证明：方法一)连AC，BD交于O点，连GO，FO，EO． 　　∵E，F分别为PC，PD的中点，，同理， 　　四边形EFOG是平行四边形，平面EFOG．　　3分 　　又在三角形PAC中，E，O分别为PC，AC的中点，PA∥EO　　4分 　　平面EFOG，PA平面EFOG，　　5分 　　PA∥平面EFOG，即PA∥平面EFG　　6分 　　方法二)连AC，BD交于O点，连GO，FO，EO． 　　∵E，F分别为PC，PD的中点，，同理 　　又， 　　平面EFG∥平面PAB，　　4分 　　又PA平面PAB，平面EFG　　6分 　　方法三)如图以D为原点，以 　　为方向向量建立空间直角坐标系． 　　则有关点及向量的坐标为： 　　 　　　　2分 　　设平面EFG的法向量为 　　 　　取　　4分 　　∵，　　5分 　　又平面EFG． 　　AP∥平面EFG．　　6分 　　(Ⅱ)由已知底面ABCD是正方形 　　，又∵面ABCD 　　 　　又 　　平面PCD，向量是平面PCD的一个法向量，＝　　8分 　　又由(Ⅰ)方法三)知平面EFG的法向量为　　9分 　　　　10分 　　结合图知二面角的平面角为　　11分 　　(Ⅲ)　　13分 　　　　14分