Question

如图，，点A在直线l

上的射影为A₁，点B在l上的射影为B₁. 已知AB=2，

AA₁=1，BB₁=，求：

   （Ⅰ）直线AB分别与平面所成角的大小；

   （Ⅱ）二面角A₁―AB―B₁的大小.

 

Answer 1

解法一：（I）如图，连接A₁B，AB₁.

∵⊥，∩=l，AA₁⊥l，BB₁⊥l，∴AA­₁⊥，BB₁⊥a.

则∠BAB₁，∠ABA₁分别是AB与和所成的角.

Rt△BB₁A中，BB₁=，AB=2，

∴sin∠BAB₁=   ∴∠BAB₁=45°

Rt△AA₁B中，AA₁=1，AB=2，

∴sin∠ABA₁=    ∴∠ABA₁=30°.

故AB与平面，，所成的角分别是45°，30°.

 

（II）∵BB₁⊥，  ∴平面ABB₁⊥.在平面内过A₁

作A₁E⊥AB₁交AB₁于E，则A₁E⊥平面AB₁B.过E作

EF⊥AB交AB于F，连接A₁F，则由三垂线定理得A₁F⊥AB，

∴∠A₁FE就是所求二面角的平面角.

在Rt△ABB₁中，∠BAB₁=45°，∴AB₁=B₁B=.

∴Rt△AA₁B₁中，AA₁=A₁B₁=1，∴

在Rt△AA₁B中，由AA₁?A₁B=A₁F?AB得

A₁F=   ∴在Rt△A₁EF中，sin∠A₁FE=，

∴二面角A₁―AB―B₁的大小为arcsin .

解法二：（I）同解法一.

（II）如图，建立坐标系，则A₁（0，0，0），

A（0，0，1），B₁（0，1，0），B（，1，0）.

在AB上取一点F（x , y, z），则存在t∈R，使得，

即(x, y, z－1)=t(,1,－1), ∴点F的坐标为(t, t, 1－t).

要使

即(t, t, 1－t)?(,1,－1)=0, 2t+t－(1－t)=0,解得t=,

∴点F的坐标为

设E为AB₁的中点，则点E的坐标为（0，），

    ∴二面角A₁―AB―B₁的大小为arccos.