Question

焦点分别为（0，5

2

）和（0，-5

2

）的椭圆截直线y=3x-2所得椭圆的弦的中点的横坐标为

1

2

，求此椭圆方程．

Answer 1

分析：根据焦点坐标得出a²-b²=50，将直线的方程与椭圆的方程组成方程组，消去y得到关于x的方程，再根据根与系数的关系求得AB的中点的横坐标的表达式，最后根据联立的方程求出其a，b即可求椭圆的方程．

解答：解：由题意可设椭圆方程为

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0），
∵c=5

2

∴a²-b²=50①
把直线方程y=3x-2代入椭圆方程整理得（a²+9b²）x²-12b²x+b²（4-a²）=0．
设弦的两个端点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则由根与系数的关系可得，
x1+x2=

12b2

a2+9b2

由中点坐标公式可得，

12b2

a2+9b2

×

1

2

=

1

2

∴a²=3b²②
联立①②可得，a²=75，b²=25
∴椭圆方程为

x2

25

+

y2

75

=1

点评：本题主要考查了椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的综合问题．直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．注意本题还金额以考虑利用点差法进行求解