Question

在xOy平面上给定曲线y²=2x.设点A坐标为(a,0),a∈R.求曲线上的点到点A距离的最小值d,并写出d=f(a)的函数表达式.

Answer 1

解:设M为曲线y²=2x上的一点,则|MA|²=(x-a)²+y²=(x-a)²+2x=x²-2(a-1)x+a²=［x-(a-1)］²+(2a-1).                                                                     ①

由于曲线y²=2x限定x≥0,对于①式,顶点的横坐标x=a-1,由此作如下讨论:

(1)a≥1时,当x=a-1时函数有最小值,

|MA|_min²=2a-1,即d=.

(2)a＜1时,①式作为x的函数在区间［0,+∞)上单调递增,故其最小值在x=0处达到,此时|MA|_min²=［0-(a-1)］²+2a-1=a²,即d=|a|.

综上所述,有d=f(a)=