Question

已知函数f(x)满足下列条件:①函数f(x)的定义域为［0,1］;

②对于任意x∈［0,1］,f(x)≥0,且f(0)=0,f(1)=1;

③对于满足条件x₁≥0,x₂≥0,x₁+x₂≤1的任意两个数x₁,x₂,有f(x₁+x₂)≥f(x₁)+f(x₂).

(1)证明:对于任意的0≤x≤y≤1,有f(x)≤f(y);

(2)证明:对于任意的0≤x≤1,有f(x)≤2x;

(3)不等式f(x)≤1.9x对于一切x∈［0,1］都成立吗?试说明理由.

Answer 1

(1)证明:对于任意的0≤x≤y≤1,

则0≤y-x≤1,可得f(y-x)≥0.

所以f(y)=f(y-x+x)≥f(y-x)+f(x)≥f(x)，

即对于任意的0≤x≤y≤1,有f(x)≤f(y).

(2)证明：由已知条件可得f(2x)≥f(x)+f(x)=2f(x).

当x=0时,f(0)=0≤2×0,

即当x=0时,f(x)≤2x.

假设存在x₀∈(0,1］,使得f(x₀)＞2x₀.

则x₀一定在某个区间(,］(k∈N^*)上.

设x₀∈(,］,则2x₀,4x₀,…,2^k-1x₀均在区间(0,1］内，

则f(2x₀)＞4x₀,f(4x₀)＞8x₀,…,f(2^k-1x₀)＞2^kx₀.

由x₀∈(,］,可知＜2^k-1x₀≤1,且2^kx₀＞1,

所以f(2^k-1x₀)≤f(1)=1,

又f(2^k-1x₀)＞2^kx₀＞1.

从而得到矛盾,因此不存在x₀∈(0,1］,使得f(x₀)＞2x₀.

∴对于任意的0≤x≤1,有f(x)≤2x.10分

(3)解：取函数f(x)=

则f(x)显然满足题目中的(1)(2)两个条件.任意取两个数x₁,x₂,使得x₁≥0,x₂≥0,x₁+x₂≤1,

若x₁,x₂∈［0,］,则f(x₁+x₂)≥0=f(x₁)+f(x₂).若x₁,x₂分别属于区间［0,］和(,1］中一个,

则f(x₁+x₂)=1=f(x₁)+f(x₂),而x₁,x₂不可能都属于(,1］.综上可知,f(x)满足题目中的三个条件.

而f(0.51)=1＞1.9×0.51=0.969,即不等式f(x)≤1.9x并不对所有x∈［0,1］都成立.