Question

12．已知边长为2$\sqrt{3}$的菱形ABCD中，∠BAD=60°，沿对角边BD折成二面角A-BD-C为120°的四面体ABCD，则四面体的外接球的表面积为28π．

Answer 1

分析 设两三角形外心分别为O₂，O₃，球心为O，BD中点为O₁，由题意知∠AO₁C=120°，OO₁=2，OO₃=$\sqrt{3}$，由此求出球半径，从而能求出四面体的外接球的表面积．

解答 解：如图，设两三角形外心分别为O₂，O₃，球心为O，BD中点为O₁，
由题意知∠AO₁C=120°，
∴OO₁=2，OO₃=$\sqrt{3}$，
∴球半径OC=$\sqrt{{2}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∴四面体的外接球的表面积为S=4$π×（\sqrt{7}）^{2}$=28π．
故答案为：28π．

点评 本题主要考查了四面体外接球的表面积的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查转化化归思想、数形结合思想，是中档题．