Question

证明：不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列，当n＞1,n∈N^*且a、b、c互不相等时，均有aⁿ+cⁿ＞2bⁿ.

Answer 1

证明：(1)设a、b、c为等比数列,a=,c=bq(q＞0且q≠1).

∴aⁿ+cⁿ=+bⁿqⁿ=bⁿ(+qⁿ)＞2bⁿ.

(2)设a、b、c为等差数列,则2b=a+c.猜想＞()ⁿ(n≥2且n∈N^*).

下面用数学归纳法证明.

①当n=2时,由2(a²+c²)＞(a+c)²,

∴＞()².

②设n=k时成立,即＞()^k,

则当n=k+1时,(a^k+1+c^k+1+a^k+1+c^k+1)＞(a^k+1+c^k+1+a^k·c+c^k·a)= (a^k+c^k)(a+c)＞()^k·()=()^k+1.

∴由①②可知,当n＞1,n∈N^*且a、b、c互不相等时,均有＞()ⁿ.

∴由(1)(2)可知,当n＞1,n∈N^*且a、b、c互不相等时,均有aⁿ+cⁿ＞2bⁿ.