Question

甲、乙两地相距s km,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过每小时c km,已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度v(km/h)的平方成正比,比例系数为b,固定部分为a元.

(1)将全程运输成本y(元)表示为速度v(km/h)的函数,并指出该函数的定义域.

(2)为使全程运输成本最少,汽车应以多大速度行驶?

Answer 1

思路分析:题意中给出的是每小时的运输成本,因此要计算全程运输成本,需要计算全程时间,根据题意,每小时运输成本的可变部分应为bv²,由题意不难得到全程运输成本y= (a+bv²)=(+bv)s(0＜v≤c),要解决提出的问题,显然是要求+bv何时取最小值,应想到算术平均数与几何平均数定理+bv≥2(当且仅当=bv,即v=时取“=”),但这里的v的取值是有限制的,至于v能否取到,这要视与c的大小而定,显然要对c的大小进行讨论,讨论时要注意c与的大小.

解:(1)依题意知,汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为,因此全程运输成本为y=(a+bv²)·=(+bv)s.

又据题意0＜v≤c,故所求函数及定义域为y=(+bv)s,v∈(0,c］.

(2)∵s、a、b、v都是正数,

∴(+bv)s≥2sab(当且仅当=bv,即v=时取“=”).

∴①若≤c,则v=时全程运输成本最少.

②若＞c,∵(+bv)s-(+bc)s=(c-v)(a-bcv)及c-v≥0,且a＞bc²,即a-bcv≥a-bc²＞0,

∴(+bv)s≥(+bc)s(当且仅当v=c时取“=”).∴v=c时,全程运输成本最少.